II) L'échantillonnage

        1. Principe de l'échantillonnage

    La première phase d'une conversion analogique/numérique s'appelle l'échantillonnage. Cette phase est réalisée par le convertisseur analogique/numérique. Echantillonner signifie prendre à intervalle régulier une série de mesures de la tension du signal analogique d'origine. L'information échantillonnée permet de reproduire une représentation plus ou moins fidèle du signal analogique d'entrée. Plus le nombre de mesures est élevé, alors plus la durée entre deux mesures est faible donc plus d'informations seront contenues dans le signal numérique, ainsi ce signal numérique sera d'autant plus fidèle au signal analogique d'origine.

Plus le nombre de mesures est élevé pour un temps donné, alors plus la fréquence d'échantillonnage est élevée. La formule de l'échantillonnage est : avec la fréquence d'échantillonnage exprimée en Hz et la durée d'échantillonnage exprimée en s, autrement dit la durée entre deux mesures.

Donc si diminue, alors le temps écoulé entre deux échantillons diminue et ainsi la fréquence d'échantillonnage augmente.

Par exemple, si la durée entre deux mesures est de  = 20 ms, alors la fréquence d'échantillonnage sera de :  donc  . Pour reproduire le plus fidèlement possible le signal analogique d'entrée, la fréquence d'échantillonnage doit être assez élevée.

        2. Le théorème de Shannon/Nyquist

    D'après le théorème de Shannon/Nyquist, la fréquence d'échantillonnage doit être au moins deux fois supérieure à la fréquence d'origine du signal. Donc   avec   la fréquence d'échantillonnage en et la fréquence d'origine du signal aussi exprimée en .

Donc par exemple pour un signal d'entrée de , la fréquence d'échantillonnage doit être au moins à égale à : 11pt;"> donc

Pour avoir un signal de sortie de bonne qualité, il ne faut pas se baser entièrement sur ce théorème car ce calcul est purement théorique. En prenant une fréquence 2x plus grande, on obtient un signal d'une qualité suffisante pour être écoutée mais pas d'une très bonne qualité.

    Nous avons voulu savoir si le théorème de Shannon était indispensable à respecter pour avoir un son de qualité à la sortie. Pour cela, nous avons pris comme fréquence d'origine une fréquence de . Suivant le théorème de Shannon, la fréquence d'échantillonnage devrait être d'au moins  donc   .

1. Dans un premier temps, nous avons choisi une fréquence d'échantillonnage , où le théorème de Shannon n'est donc pas respecté. On remarque que la courbe représentée n'est pas une sinusoïde donc on peut en déduire que le son n'est pas bien reproduit.

2. Prenons ensuite une fréquence d'échantillonnage de qui est à la limite du théorème de Shannon : on distingue que la courbe s'affine mais n'est toujours pas une sinusoïde parfaite.

3. Enfin, nous avons pris comme fréquence d'échantilonnage une fréquence de  . Cette fréquence d'échantillonnage est donc bien plus grande que deux fois la fréquence d'origine et respecte donc le théorème de Shannon. La courbe produite est une sinusoïde, la courbe n'est pas dégradée et par conséquent on peut en déduire que le son est le plus fidèlement reproduit.

    Nous en déduisons donc que le fait de respecter le théorème de Shannon n'est pas suffisant pour obtenir un son de qualité optimale mais qu'il faut prendre une fréquence d'échantillonnage bien plus supérieure au double de la fréquence d'origine pour une très bonne restitution  du son. Néanmoins, une fréquence d'échantillonnage deux fois plus supérieure de la fréquence d'origine permettra quand même une restitution assez correcte du son, sans être parfaite.

        3. Analyse de Fourier

    Une analyse de Fourier est un spectre représentant les fréquences d'origine d'un signal analogique. Sur ce graphique, on remarque la présence de 3 raies. Plus la hauteur de la raie est élevée alors plus la fréquence représentée occupe une proportion plus importante dans ce signal. La plus grande représente une fréquence de tandis que les deux autres représentent des fréquences de et  . La raie représentant une fréquence de est donc la principale fréquence de ce signal tandis que les deux autres représentent une part minime de ce signal, ce sont probablement des parasites. On qualifie donc ce signal de signal monochromatique.

     Si le signal ne serait pas un signal périodique, alors il y aurait une multitude de raies représentant les différentes fréquences de ce signal, avec leur proportion dans ce signal. A l'aide du logiciel Synchronie, nous pouvons sélectionner une partie d'un signal analogique pour ensuite faire une analyse de Fourier de sélection. Dans le cas présent, nous n'avons pas choisi de sélection puisque le signal est périodique et par conséquent n'a qu'une seule et unique fréquence constante.

        4. Expérience 1 : variation de la fréquence d'échantillonnage

    Nous avons voulu savoir à partir de quelle fréquence d'échantillonnage le son était reproduit le plus fidèlement. Pour cela, aidé du logiciel Synchronie et d'un générateur basse fréquence (GBF) nous avons fait varier la fréquence d'échantillonnage tout en gardant une fréquence d'origine constante de  .

     Tout d'abord, nous avons pris une fréquence d'échantillonnage de  : la durée écoulée entre deux points est de : pour une durée totale de  , le nombre de points, autrement dit le nombre de mesures du signal est donc de échantillons. La courbe n'est pas une sinusoïdedonc le son obtenu est de mauvaise qualité.

     Puis, nous avons pris une comme fréquence d'échantillonnage une fréquence de : donc avec avec toujours une durée totale de . Notons une amélioration de la qualité de la courbe, elle commence à prendre la forme d'une sinusoïde, chose que l'on n'avait pas auparavant. Le son est donc d'une qualité supérieure à la précédente mais toujours pas suffisante.

    Ici, nous avons choisi avec mesures ce qui donne une fréquence d'échantillonnage de donc . La courbe générée devient de plus en plus une sinusoïde, le son est donc reproduit fidèlement bien qu'il ne soit pas excellent.

   C'est à partir d'une fréquence d'échantillonnage de   en prenant   et avec échantillons. Cette courbe ressemble fort à une sinusoïde, le signal se reproduit périodiquement et n'est pas dégradé. Le son reproduit est donc d'excellente qualité et ainsi notre oreille humaine ne décèlera pas de différence avec le signal d'origine.

    Enfin, pour finir cette expérience, nous avons paramétré dans Synchronie   avec mesures et par conséquent la fréquence d'échantillonnage est de . On remarque donc que la courbe produite est tout comme la précédente manipulation une sinusoïde mais il n'y a pas de différences notables comme les premières manipulations. Pourtant, entre cette manipulation et la précédente, la fréquence d'échantillonnage est passée de à . Le son reproduit est donc d'excellente qualité tout comme la précédente expérience.

Donc nous en déduisons qu'à partir d'un certain seuil, l'augmentation de la fréquence d'échantillonnage n'améliore pas la qualité. A partir d'un certain seuil, ce n'est pas en augmentant considérablement la fréquence d'échantillonnage que le son reproduit est d'une qualité nettement supérieure. Notre oreille humaine ne peut distinguer les différences de qualité. Néanmoins, il faut donc une fréquence d'échantillonnage assez élevée comme nous avons vu précédemment pour une restitution correcte du son.

        5. Expérience 2 : Variation de la fréquence d'origine

   Dans une seconde expérience, nous avons fait varier la fréquence d'origine tout en gardant une même fréquence d'échantillonnage, ici de pour savoir s'il y a une correspondance entre fréquence d'échantillonnage et fréquence d'origine.

   On remarque donc que l'on obtient une courbe quelconque, le son est d'une qualité très mauvaise, il ne reproduit en rien le son d'origine, avec une fréquence d'origine de  .

    La courbe générée commence à devenir une sinusoïde, on peut distinguer une période donc le signal commence à devenir périodique.

   Ci dessus, la courbe est une sinusoïde, la période se répète deux fois et ainsi le signal convertit est correctement reproduit. C'est à cette fréquence de   que correspond cette fréquence d'échantillonnage.

   Par la suite, nous avons sélectionné comme fréquence d'origine une fréquence de  . On distingue que la courbe n'est pas franchement une sinusoïde et ainsi le signal est dégradé.

    Enfin, on distingue ici que la courbe n'est plus une sinusoïde : elle est composée de deux signaux sinusoïdaux d'origine qui encadrent un troisième signal, interférant avec les deux autres. Du coup, lerésultat obtenu n'est pas d'une qualité acceptable.

Nous pouvons donc en déduire qu'à unefréquence d'échantillonnage correspond un intervalle de fréquence d'origine afin de reproduire correctement le signal. Si notre fréquence d'échantillonnage n'appartient pas à cet intervalle, alors le signal convertit ne sera pas fidèle à celui d'origine, tel est la nécessité de bien choisir une fréquence d'échantillonnage correspondant à une fréquence d'origine.